アデール

Z は有理整数環，lim は射影極限，colim は帰納極限とする．

• Zˆ = lim n \ Z

• Q = colim Z / s

• A = Zˆ × R

• (∂_t + H )ψ = 0

• F = mM / 4πr²

• F = qQ / 4πr²

• 有理数体

  • Q = colim Z / s

• 有理整数環の副有限完備化（は長いので 剰余環 はどう？）

  • Zˆ = lim n \ Z

• p 進整数環

  • Z_p = lim p^ν \ Z
  • Zˆ = ∏_p Z_p（中国式剰余定理）

• p 進体

  • Q_p = Z_p ⊗ Q

• 実数体

  • R = Q_∞

• アデール環

  • A = Zˆ × R
  • A_Q = A ⊗ Q というか代数体 K に対して A_K = A ⊗ K

• 有限アデールの表現

  • n \ r / s

ここで n は 法 ，s は 分母 ，r は 分子 であり， アデールの有限部分 Zˆ ⊗ Q の元の近似表示とみなす．

• 0 \ r / s = r / s
• n \ r / 1 = n \ r

と書く．以下の対称的な操作がある．

• s の逆元が 1 / s
  • s × 1 / s = 1
• r の反元が -r
  • r + -r = 0
• n の法が n \ 0
  • n + n \ 0 = n \ 0

加法と乗法は局所体のレベルではつながっている．

• log x = ∑_{k ≥ 1} (1 − 1 / x)^k / k
• exp x = ∑_{k ≥ 0} x^k / k!

局所体はチューブ状でsemver表示を持つ．

非アルキメディアンな場合

p 進数はリトルエンディアンで表示する． つまり，p を p 進で表示すると 0.1 となる． また，非零な x に対して

• x = p^{ord x} sgn x exp log x

となるようにタイヒミュラー指標 sgn と対数 log を拡張しておく． もちろん，常識的な定義域の範囲では

• sgn x = lim_{n → ∞} x^pn
• log x = ∑_{n ≥ 1} (1 - x^-1)ⁿ/n

である．

• ord : Gm(Q_p) → Ga(Z)
• sgn : Gm(Q_p) → Gm(Q_p)
• exp : Ga(Q_p) → p Z_p → 1 + p Z_p → Gm(Q_p)
• log : Gm(Q_p) → 1 + p Z_p → p Z_p → Ga(Q_p)

ここでレトラクション（準同型ではない）

• Ga(Q_p) → p Z_p

を a.b ↦ 0.b つまり

• ∑ c_npⁿ ↦ ∑_{n > 0} c_npⁿ

に選ぶ． p = 2 の場合は，さらに調整が必要． もちろん常識的なところでは

• exp x = ∑_{n ≥ 0} xⁿ / n!

である．

ここまでは混標数．等標数の場合（有限体上のロラン級数体）もある．

アルキメディアンな場合

実数や複素数はもちろんビッグエンディアンで表示する．

τ = 2πi とする． 0, 1, e, τが複素数体における特別な元となっている．

• abs : Gm(C) → Gm(C)
• sgn : Gm(C) → Gm(C)
• exp : Ga(C) → τ \ Ga(C) → Gm(C)
• log : Gm(C) → τ \ Ga(C) → Ga(C)

ここで，セクション（準同型ではない）

• τ \ Ga(C) → Ga(C) は
• τ \ τ/2 ↦ -τ/2 に選んでおく．

τ \ Ga(C) の元 x を x = a.b.c = a.b + τ × 0.c のように書く．また，それがexpで移った先を x X = exp x と書く．このように対数表示すれば，乗法・逆元・反元で誤差が発生せず，

• e = 1 X
• -τ/2 = 0.0.5
• i = 0.0.25 X

などとなる． a.b.c Xという表現では， aがオーダー，bが精度，cが次元を表していると思える． ちなみにlogは

• log x = ∫1^x ds / s

と定義されているものとする．

物理量・情報量

• 4πG = c = ε₀ = μ₀ = k = h / 2πi = 1

とする．唐突に出てきた記号は

• 重力定数
• 光速度
• 真空の誘電率と透磁率 （意味不明な名称）
• ボルツマン定数
• プランク定数

である．

普通は h = 2π とするが，それでは次元が退化しすぎる感じだし， pq - qp = h / 2πi だけ見ても， h = 2πi とみなしたくなる．

これらの量を慣用の単位系で表して

• c = 299792458 m s-1
• h = 6.626070040e-34 kg m2 s-1
• G = 6.67408e-11 kg-1 m3 s-2

とすれば， C で解いて

• kg = 18.908488.125 X = exp(17.642958 + 2πi × 0.125)
• m = 78.844871.125 X
• s = 98.363472.125 X

となる． ついでに

• k = 1.3806488e-23 J K-1 = 1
• μ₀ = 4π × 10-7 N A-2 = 1

とすれば

• K = -72.765617.125 X
• A = -56.280327 X

となる． さらに情報量については

• b = log 2 = 0.693147 = -0.366513 X
• B = log 28 = 8 log 2 = 1.712929 X
• KiB = 210 B = 8.644400 X
• MiB = 220 B = 15.575872 X
• GiB = 230 B = 22.507344 X

などとみなす．

ニュートン

• F = mM / 4πr²
• G = ν_G m3 kg−1 s−2 = 1 / 4π
• kg = 4πν_G m3 s−2
• N = kg m s−2 = ν_G m4 s−4
• J = N m = ν_G m5 s−4
• W = J / s = ν_G m5 s−5

マクスウェル

• c = ν_c m s−1 = 1
• s = ν_c m
• kg = ν_G ν_c−2 m
• N = ν_G m4 s−4 = ν_Gν_c⁻⁴
• J = N m = ν_G m5 s−4
• W = J / s = ν_G m5 s−5
• F = qQ / 4πr²

ボルツマン

• k = ν_k J K−1 = 1
• K = ν_k J